Ist 1 n eine Cauchy-Folge?
also die Folge, die immer zwischen Null und Eins hin- und herspringt. Diese Folge ist keine Cauchy-Folge, da der Abstand zwischen den einzelnen Folgengliedern offensichtlich nicht beliebig klein werden kann. da sich zwar die Elemente der Teilfolgen (1n)n und 1;1;1;1;,…
Ist jede Cauchyfolge konvergiert?
Im allgemeinen gilt aber nur, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. (Bei dem Beweis dieser Richtung gingen nur die Abschätzungen des Abstandes zweier Folgenglieder zum Grenzwert der Folge und die Dreiecksungleichung ein.) Die Umkehrung gilt nicht! Wir zeigen: Die Folge (xn)n∈N0 ist eine Cauchyfolge.
Wann ist eine Folge eine Cauchy-Folge?
Intuitiv gesprochen ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander beliebig klein werden. Beachte, dass hier mehr als nur der Abstand direkt benachbarter Folgenglieder gemeint ist.
Was ist keine Cauchy-Folge?
Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein. Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.
Ist eine Cauchy-Folge immer beschränkt?
Sei xk ∈ R eine Cauchy-Folge. Dann ist sie beschränkt: es gibt ein R > 0 sodass alle Elemente xk der Folge im Ball BR (0) liegen. Denn für ε = 1 existiert N ∈ N sodass ∀n, m ≥ N d(xn, xm) < 1. Also liegen alle Punkten der Folge innerhalb des Intervalls [−R, R].
Wann ist ein metrischer Raum vollständig?
Ein metrischer Raum heißt nun vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. Zwar ist eine konvergente Folge stets eine Cauchy-Folge, aber die umgekehrte Richtung muss nicht notwendigerweise wahr sein.
Wie viele Häufungspunkte kann eine Folge haben?
Eine Folge kann einen, mehrere, sogar unendlich viele Häufungspunkte besitzen, zwischen denen sie in ihrem Verlauf „hin- und herspringt“. Ebenso gibt es Folgen, die keinen Häufungspunkt besitzen.
Wann ist eine Folge konvergent?
Eine Folge wird dann als konvergent gegen einen Grenzwert a definiert, wenn in jeder ε-Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.
Ist eine konvergente Folge beschränkt?
Satz 2.3 Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis: Sei (an) → a. Wegen der Konvergenz gibt es ein n0 ∈ N mit an ∈ U1(a) für alle n ≥ n0. Für t := min{a0,a1,…,an0−1,a − 1} und s := max{a0,a1,…,an0−1,a + 1} gilt dann t ≤ an ≤ s für alle Folgenglieder, (an) ist somit beschränkt.